本ドキュメントはCypress (サイプレス) 製品に関する情報が記載されております。
AN706-00032-1v0-J
32-BIT MICROCONTROLLER
MB9B100A/MB9B300A/MB9B400A/MB9B500A series
インバータ制御における座標変換
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Cortex is trademark of ARM Limited in the EU and other countries.
AN706-00032-1v0-J
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て高い信頼性が要求される用途（海底中継器、宇宙衛星をいう）に使用されるよう設
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1
AN706-00032-1v0-J
改版履歴
版数
日付
内容
1.0 版
2011.08.24
新規作成
2
AN706-00032-1v0-J
目次
改版履歴 ...................................................................... 2
目次 .......................................................................... 3
1
はじめに .................................................................. 4
2
技術的背景 ................................................................ 5
2.1
3
クラーク変換 .............................................................. 6
3.1
理論 .................................................................. 6
3.1.1
クラーク変換の理論................................................. 6
3.1.2
逆クラーク変換理論................................................. 9
3.2
4
概要 .................................................................. 5
応用例 ............................................................... 10
パーク変換 ............................................................... 11
4.1
理論 ................................................................. 11
4.1.1 パーク変換理論........................................................ 11
4.1.2 逆パーク変換の理論.................................................... 13
4.2
応用例 ............................................................... 14
3
AN706-00032-1v0-J
1
はじめに
このアプリケーションノートでは、インバータ制御で利用されるクラーク、パーク、逆
クラークおよび逆パーク変換による座標変換について説明します。
また、上記変換について弊社マイコンを利用したサンプルプログラムについて説明します。
4
AN706-00032-1v0-J
2
技術的背景
座標変換の必要性
2.1
概要
モーター制御において、モーターの始動、停止、速度等すべてのものはモーターの磁気
トルク、いわゆるモータートルクを公式により変換して理解することが必要です。
直流モーターの場合:
ΦI.
交流モーターの場合:
ΦI cos φ
.
(1)
(2)
ここで Te は磁気トルク、CT はトルク係数、I は電機子電流、Φ は磁束、φ は力率です。
直流モーターでは、 Φ と I の値を間接的に決定して制御することによりモータートルク
を制御します。Φ と I を一定値にするとモータートルクは比例の関係となり、I を変更す
るとモータートルクが変化します。このように直流モーターでの制御が電流制御により容
易に行うことができます。
これに対して、交流モーターでのトルク制御は I と Φ だけではなく、φ も重要な係数
となります。Φ はローター電流の周波数と共に変化し、Φ は電機子電流とローター電流に
由来しているため、 モーター負荷の変化に応じて変化します。このように、ダイナミック
に動作している交流モーターは直流モーターよりも制御が非常に難しいです。
交流モーターは直流モーターと同様にパラメータ関係を定義・設定する必要があります。
交流モーターはベクトル制御により、直流モーターとしてシミュレーションでき、かつ制
御も単純化することができます。
基本理論として、三相交流モーターを使用している場合、その回転磁界を直流モーター
の二相回転磁界軸に変換し、この二相電流を制御することによってトルクを制御します。
5
AN706-00032-1v0-J
3
クラーク変換
クラーク変換の理論
3.1
理論
3.1.1
クラーク変換の理論
図 3-1 のように、モーターの理論では、三相交流モーターは 3 個の固定巻線を有し、
三相交流電流 ia、ib、ic によって回転磁界 Φ と回転速度 ω を発生させます。
B
β
ω
ω
F
ib
ia
iβ
F
iα
A
α
ic
C
図 3-2
図 3-1
また、図 3-2 のように、三相固定巻線は回転磁界を生成します。座標変換した二相対称
巻線(位相=90°)についても、二相交流電流を使用することにより回転磁界を表現すること
ができます。
三相巻線・二相対称巻線はそれぞれ回転磁界 Φ を発生します。その値と速度が同一なら
ば当然三相巻線と二相巻線は同等となります。
図 3-3 のように、クラーク変換は三相(ia,ib,ic)を二相(iα,iβ)に変換します。
a
b
c
α
クラーク
図 3-3
6
β
AN706-00032-1v0-J
クラーク変換は電力を一定と定義して変換します。図 3-4 で示すように、
ib cos 60° ic cos 60°
k1 ia
iα
iβ
k1 ib sin 60° ic sin 60°
k 1 ia
k1
1
i
2 b
√3
i
2 b
1
i
2 c
√3
i
2 c
(3)
ここで、 ia , ib , ic は三相電流、 iα , iβ は二相電流、 k1 は平衡係数です。
β
Is
Iβ
b
a α
Iα
c
図 3-4
また、電流成分の式は右の関係があります。
k 1 k 2 ia
i0
ib
ic
(4)
この公式をモーターアプリケーションに適用すると、次の行列式が得られます。
iα
iβ
i0
1
k1
0
k2
1
2
√3
2
k2
1
2 ia
√3 ib
2 ic
k2
1
2
√3
2
k2
1
2
√3
2
k2
ia
CT ib
ic
(5)
ここで:
1
CT
k1
0
k2
電力が一定ならば、 この式は次のように変更されます:
1
0
k2
1 √3
k2
CT 1 k1 2
2
1
√3
k2
2
2
1
0
k2
1
1
1
1 √3
2
2
k2
CT 1 CT k12 2
√3
√3
2
0
1
√3
2
2
k2 k
k2
k2
2
2
2
7
(6)
(7)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(8)
AN706-00032-1v0-J
1
k2
すると
k 2 , k 1 を CT
1
√2
2
，k1
3
に代入すると、
1
2
√3
2
1
1
2
0
3
1
CT
√2
1
2
√3
2
1
√2
√2
(9)
この公式がクラーク変換行列式です。
k 2 , k 1 を CT
1
に代入すると、
1
CT
2
3
1
1
2
1
0
1
2
1
2
√3
2
√3
2
√2
1
√2
(10)
この公式が逆クラーク変換行列式です。
モーター理論では、三相交流モーター電流は次のようになります。
sin
sin
sin
k2
1
√2
，k1
2
3
iα
iβ
i0
2
0
3
1
√2
iα
(11)
と式(11)を式(5)に代入すると、
1
ここで
2 /3
2 /3
1
2
√3
2
1
1
2
√3
2
1
√2
sin
sin
sin
2 /3
2 /3
√2
ia とすると、上式は次のようになります。
iβ
iα ia
√3ia 2√3ib
3
3
sin
sin
この変換は次に示す 図 3-5 の波形を示します。
8
/2
(12)
AN706-00032-1v0-J
ia
ib
iβ iα
ic
a
b
c
α
β
クラーク
図 3-5
3.1.2
逆クラーク変換理論
モーター理論において、固定 α-β 軸で 2 つの電流ベクトル成分が存在する場合、逆変
換を行って三相固定 A、B、C 軸上に戻すことができます。この変換には図 3-6 に示す逆ク
ラーク変換を使用します。
a
α
β
逆
b
クラーク
c
図 3-6
1
逆パーク行列 CT と図 3-4 により、 逆クラーク変換の式は次のようになります。
β
9
β
√3
α
/2
β
√3
α
/2
(13)
AN706-00032-1v0-J
3.2
応用例
ここでは、サンプルプログラムで記述している応用例を紹介します。
関数名: ClarkAmplitude
C ファイル名:
ClarkAmplitude.C、 ClarkAmplitude.H
<関数インターフェイス>
void ClarkAmplitude(volatile
_stDataInThreeAxis *stDataInThreeAxis //Inputs: 3-axis system
volatile
_stDataInFixAxis *stDataInFixAxis
//Outputs: fixed 2-axis system )
typedef struct
{
Q15_VAL32 a_Q15;// phase-a variable
Q15_VAL32 b_Q15;// phase-b variable
Q15_VAL32 c_Q15;// phase-c variable
}_stDataInThreeAxis;
_stDataInThreeAxis *stDataInThreeAxis
typedef struct
{
Q15_VAL32 alpha_Q15;// stationary d-axis variable
Q15_VAL32 beta_Q15;// stationary d-axis variable
}_stDataInFixAxis;
_stDataInFixAxis *stDataInFixAxis
表 1
項目
入力
出力
名称
説明
フォーマット
a
平衡三相の相 a
Q15_VAL32
b
平衡三相の相 b
Q15_VAL32
c
平衡三相の相 c
Q15_VAL32
alpha
alpha - 固定二相の alpha
Q15_VAL32
beta
alpha - 固定二相の beta
Q15_VAL32
入力ハンドル: stDataInThreeAxis、 出力ハンドル: stDataInFixAxis.
このモジュールの使用例を以下に示します。
Main()
{
}
void example_Clarke()
{
stDataInThreeAxis.a_Q15=INa;//input phase-a
stDataInThreeAxis.b_Q15=INb;// input phase-b
ClarkAmplitude(&stDataInThreeAxis、 pCurrentInFixAxis);// calculate clarke
OUTa=CurrentInFixAxis. alpha_Q15;//Output alpha
OUTb=CurrentInFixAxis. beta_Q15;//Output beta
}
10
AN706-00032-1v0-J
4
パーク変換
パーク変換の理論
4.1
理論
4.1.1 パーク変換理論
図 4-1 のように、二相対称巻線(△位相=90°)に二相交流電流 iα、iβ を流し、巻線を制
止させると回転磁界 EMF- F1 が生じ、その速度は ω となります。
図 4-2 のように、二相対称巻線(△位相=90° )に二相直流電流 id、iq を流し、巻線を速
度 ω で回転すると回転磁界 EMF-F2 が生じます。
もし EMF-F1=EMF-F2 ならば、 交流電流による二相静止座標システムは、 直流による
二相回転座標システムと同等となることが分かります。
q
β
ω
iβ
ω
F
F
iq
id
iα
d
α
図 4-2
図 4-1
図 4-3 のように、 パーク変換は二相静止座標(iα、iβ)を二相回転座標(id、iq)に変換し
ます。
α
β
θ
d
パーク
q
図 4-3
ここで、 iα、iβ はクラーク変換により得られ、ローターから得られる θ は電機子座標
系の直軸からローター角 θ だけ変位しています。一般座標系の実軸(x)とローターと共に
回転する座標系の実軸間の角度は θ であるので、 次の図ような関係になります。
11
AN706-00032-1v0-J
図 4-4
図 4-4 に示すように、
id
iq
iα cos θ iβ sin θ
iα sin θ iβ cos θ
(14)
ここで、 id , iq は回転二相電流、 iα , iβ は静止二相電流、 θ は iα と id . の角度です。
式を行列式に変更すると、
id
iq
cos θ sin θ iα
sin θ cos θ iβ
iα
CP i
β
(15)
ここで、
CP
cos θ sin θ
sin θ cos θ
(16)
この行列式は静止二相システムを回転二相システムに変換するもので、 パーク変換となります。
電力が一定である場合、この式は次のようになります:
CP 1
cos θ
sin θ
sin θ
cos θ
(17)
この行列式は回転二相システムを静止二相システムに変換するもので、 逆パーク変換とな
ります。この変換手順は次の図 4-5 に示された波形を使用します。
12
AN706-00032-1v0-J
iβ iα
id
α
β
θ
d
パーク
q
iq
図 4-5
4.1.2 逆パーク変換の理論
モーター理論では、回転する d-q 内に 2 個の電流成分ベクトルが存在すれば、逆変換を行
うことにより二相静止 α-β 軸に戻すことが可能です。この変換には逆パーク変換、 図 4-5
を使用します。
d
q
α
逆パーク
β
θ
図 4-6
1
逆パーク行列 CP および図 4-1 により、 逆パーク変換の式が得られます:
iα id cos θ iq sin θ
iβ id sin θ iq cos θ
13
(20)
AN706-00032-1v0-J
4.2
応用例
ここでは、サンプルプログラムの応用例を紹介します。
関数名: Park
C ファイル名: Park.C、 Park.H
関数インターフェイス:
void Park(_stDataInFixAxis *stDataInFixAxis、 //fixed 2-axis system
_stDataInRotAxis *stDataInRotAxis //rotational 2-axis system)
typedef struct
{
Q15_VAL32 alpha_Q15;
Q15_VAL32 beta_Q15;
}_stDataInFixAxis;
_stDataInFixAxis *stDataInFixAxis
typedef struct
{
Q15_VAL32 d_Q15;
Q15_VAL32 q_Q15;
Q15_VAL32 theta_Q15;
}_stDataInRotAxis;
_stDataInRotAxis *stDataInRotAxis
表 2
項目
入力
出力
名称
alpha
beta
Theta
d
q
関数入出力一覧
説明
固定二相の相 alpha
固定二相の相 beta
静止系と回転系間の相角度
alpha - 回 転 2 軸 シ ス テ ム の
alpha
alpha - 回転 2 軸システムの beta
このモジュールの使用例を以下に示します。
Main()
{
}
void example_Park()
{
CurrentInFixAxis. alpha_Q15= INa;//Input alpha
CurrentInFixAxis. beta_Q15= INb;//Input beta
stDataInRotAxis. theta_Q15=Intheta;//input Phase angle
Park(&CurrentInFixAxis、 stDataInRotAxis);
OUTa= stDataInRotAxis. d_Q15;
OUTb= stDataInRotAxis. q_Q15;
}
14
フォーマット
Q15_VAL32
Q15_VAL32
Q15_VAL32
Q15_VAL32
Q15_VAL32
AN706-00032-1v0-J
関数名: ParkInv
C ファイル名: ParkInv.C、 Park.H
関数インターフェイス:
void InvPark(_stDataInRotAxis *stDataInRotAxis、 // rotating 2- phase system
_stDataInFixAxis *stDataInFixAxis // fixed 2- phase system)
typedef struct
{
Q15_VAL32 d_Q15;
Q15_VAL32 q_Q15;
Q15_VAL32 theta_Q15;
}_stDataInRotAxis;
_ stDataInRotAxis * stDataInRotAxis
typedef struct
{
Q15_VAL32 alpha_Q15;
Q15_VAL32 beta_Q15;
}_stDataInFixAxis;
_stDataInFixAxis *stDataInFixAxis
表 3 関数入出力一覧
項目
名称
説明
フォーマット
d
alpha - 回転二相の d
Q15_VAL32
入力
q
alpha - 回転二相の q
Q15_VAL32
θ
静止系と回転系間の相角度
Q15_VAL32
alpha – 固 定 二 相 シ ス テ ム の
alpha
Q15_VAL32
出力
alpha
beta
alpha - 固定二相システムの beta Q15_VAL32
入力ハンドル: stDataInRotAxis、 出力ハンドル: stDataInFixAxis.
このモジュールの使用例を以下に示します。
Main()
{
}
void example_ParkInv()
{
stDataInRotAxis.d_Q15=INd;//input phase-d
stDataInRotAxis.q_Q15=INq;// input phase-q
stDataInRotAxis.theta_Q15=Intheta;//input Phase angle
InvPark (&stDataInRotAxis、 pCurrentInFixAxis);// calculate Inverte Park
OUTa=CurrentInFixAxis. alpha_Q15;//Output alpha
OUTb=CurrentInFixAxis. beta_Q15;//Output beta
}
- 以上 -
15